Исследовательская работа » Математика сердца» 5 класс

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Работа и мощность сердца. Аппарат искусственного кровообращения

Работа, совершаемая сердцем, затрачивается на преодоление сил давления и сообщение крови кинетической энергии.

Рассчитаем работу, совершаемую при однократном сокраще­нии левого желудочка. Изобразим
Vу
— ударный объем крови — в виде цилиндра (рис. 9.9). Можно считать, что сердце продавлива­ет этот объем по аорте сечением
S
на расстояние
l
при среднем давлении
р.
Совершаемая при этом работа

На сообщение кинетической энергии этому объему крови за­трачена работа

где r — плотность крови,u

— скорость крови в аорте. Таким обра­зом, работа левого желудочка сердца при сокращении равна

Так как работа правого желудочка принимается равной 0,2 от ра­боты левого, то работа всего сердца при однократном сокращении

Формула (9.17) справедлива как для покоя, так и для активно­го состояния организма. Эти состояния отличаются разной скоро­стью кровотока.

Подставив в формулу (9.17) значения
р
= 13 кПа,
Vy =
60 мл = 6 • 10 -5 м 3 , r = 1,05 • 10 3 кг/м 3 ,
u =
0,5 м/с, полу­чим работу разового сокращения серд­ца в состоянии покоя:
Al »
1 Дж. Счи­тая, что в среднем сердце совершает одно сокращение в секунду, найдем работу сердца за сутки:
Ас
= 86 400 Дж. При актив­ной мышечной деятельности работа сердца может возрасти в несколько раз.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2:

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:

2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:



Если a > 0, то график выглядит как-то так:

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Правила визуализации данных

Чтобы графики и диаграммы были понятны читателям, при их построении нужно соблюдать следующие рекомендации:

• Выбирайте правильный тип и формат визуализации информации. Используйте график, подходящий для ваших данных и соответствующий вашей цели. Например, если вам нужно отобразить динамику показателей, создайте обычный линейный график. В случае, когда предполагается сравнение нескольких категорий между собой, правильным выбором станет столбиковая (линейчатая) или секторная (круговая) диаграмма. Ориентируйтесь на количество категорий, если их у вас больше 5, лучше подойдет столбиковая, так как в круговой диаграмме с большим числом долей информацию считывать неудобно.
• Не нарушайте общепринятые стандарты, например, временные оси (года, месяцы, кварталы) всегда располагайте горизонтально слева направо, так как это интуитивно понятно для читателей и облегчит восприятие информации.
• Старайтесь делать дизайн диаграммы максимально простым и ясным. Не используйте элементы, которые могу отвлечь читателя от сути: градиентную заливку, тени, трехмерные эффекты и пр.
• Удаляйте с ваших диаграмм все неинформативные элементы, оставляйте только те, что действительно необходимы, так как загромождение графиков ненужной информацией значительно затрудняет их восприятие. К примеру, если у вас есть подписи значений, то линии сетки и ось уже не нужны, поскольку это дублирование информации. Если вы все же используете основные, а также вспомогательные линии сетки, делайте их как можно более простыми и не бросающимися в глаза. На первом плане должна быть важная информация, а не вспомогательные элементы.
• Визуализировать данные следует так, чтобы с первого взгляда были видны самые высокие и самые низкие значения, тенденции и корреляции. В противном случае нужно менять тип графика. Старайтесь сделать так, что было легко сравнить разные показатели и выявить соотношение, поэтому разбивать однотипную информацию на несколько отдельных графиков не стоит.
• Однако если необходимо визуализировать много различных типов данных и категорий, напротив, нужно разделить диаграмму на несколько частей. Например, на линейном графике нежелательно показывать больше четырех-пяти линий. Перегруженная информацией диаграмма только запутает читателя.
• Если на диаграмме отображаются категории, которые обычно ассоциируются с определенным цветом, к примеру, положительные значения – зеленый, отрицательные показатели – красный, а мужчины и женщины – голубой и розовый цвета, не стоит нарушать общепринятый порядок. Пользователю проще воспринимать эти категории в ожидаемой цветовой гамме.
• Если вы сравниваете показатели текущего и прошедшего года, можно сделать прошедший год более бледным, а текущий обозначить более ярко. Однако использовать следует оттенки одного цвета, чтобы было понятно, что речь идет об одном и том же показателе.
• Позаботьтесь о правильном форматировании чисел на диаграмме: в больших числах используйте разделители разрядов (то есть указывайте 1 000 000, а не 1000000) и убирайте лишние знаки после запятой. Это сделает числа легко читабельными.
• Учтите, что у диаграммы должно быть понятное, отражающее суть название и полная легенда, то есть все необходимые поясняющие подписи. Период времени и единицы измерения должны быть четко обозначены и трактоваться абсолютно однозначно, чтобы у читателей не возникало никаких вопросов, что изображено на диаграмме.

И еще пара советов: не используйте разные виды графиков и диаграмм для однотипных данных. Читателю требуется время, чтобы привыкнуть к каждому новому виду диаграммы и понять, что обозначает определенная линия или столбик, поэтому всегда выбирайте одинаковые диаграммы для данных одного типа. Кроме того, следует придерживаться одной цветовой гаммы в одном отчете или презентации. Хорошее решение – использование цветов вашего корпоративного стиля.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2×2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2×2 + 3x — 5.

D = b2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√D = 7

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2×2 + 3x — 5 = 0

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:

Построение графиков в Excel по данным таблицы

В MS Excel есть возможность не только проводить вычисления, используя разные формулы, но и также строить на их основе различные диаграммы: гистограммы, круговые диаграммы, точечные и т.д. В этом уроке мы разберем, для чего применяют графики. И так, графики – это разновидность диаграммы, схожая с гистограммой. Они бывают трех видов: простой, график с накоплением и нормированный график с накоплением. Каждый из этих графиков бывает двух видов: с маркером и без. Так эти два вида строятся одинаково, рассмотрим только маркированные графики. Коротко опишем применение каждого графика, и далее на примерах разберем более подробно, как их построить. a) Простой график нужен для того, чтобы изобразить, как изменяется некое значение во времени (прибыль по месяцам; рождаемость по годам и т.д.). b) График с накоплением показывает, как изменяется составляющая целого значения с течением времени. (Лучше использовать диаграмму с накоплением) c) Нормированный график с накоплением показывает изменение доли каждого значения с течением времени. Есть еще объемный график, который схож с простым графиком. Поэтому мы покажем только его конечный вид.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2×2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x2,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая.

Простая диаграмма

Рассмотрим простой график на примере таком примере прибыли некоторой фирмы по 3 товарам за определенный период. Для этого выделим нужные нам ячейки, как на рисунке ниже.

Теперь строим простой маркированный график. Для этого выделяем диапазон В1:D6, на главное ленте выбираем Вставка–Диаграммы (нажимаем на стрелочку справа сверху). В появившемся окне выберем нужную нам диаграмму. В первом случае – простой график. Нажимаем ОК.

Выбираем график слева, т.к. он показывает изменение прибыли во времени. Если вы все сделали правильно, то должно получиться так, как на рисунке ниже:

Итак, диаграмма построена, но на ней не отображаются года. Изменить название диаграммы очень просто. Нужно нажать на заголовок и ввести подходящее название. Например, Прибыль по товарам в 2010-214 гг. Для того, чтобы года отображались на оси Х, необходимо нажать на ось правой кнопкой мыши для вызова контекстного меню и нажать Выбрать данные.

После этого появится такое окошко:

Изменяем подписи горизонтальной оси. Должно открыться такое окошко:

Нажимаем туда, где выделено красным и выбираем диапазон. В нашем случае это А2:А6. И нажимаем клавишу Enter и ОК. В результате этого должно открыться предыдущее окно, но выглядеть будет следующим образом:

Нажимаем ОК, меняем название диаграммы. Теперь она должна выглядеть так:

Осталось добавить подписи данных. В версии Excel 2013–2016 это делается очень просто. Нажимаем на плюсик справа, который вызывает различные команды и ставим галочку Название осей. Должно получиться так:

Как и в случае с названием, ставим курсор в область каждой из осей и подписываем их согласно условию. Например, ось Х – Год, ось Y – Прибыль. Должно получиться так, как на рисунке ниже:

В MS Excel версиях 2007-2010 форматировать оси, область диаграммы и т.д. с помощью дополнительной вкладки на ленте Работа с диаграммами.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) * (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x — 2) * (x + 1).

Как строим:

1. Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x — 2) * (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = -1.

1. Определим координаты вершины параболы:

1. Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab =(-2) * (1)= -2 и ей симметричная.

1. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Формула любви

Женщины всегда привлекали мужчин. Одаренная мужская половина посвящала им стихи, музыку, песни, картины, дарила звезды, украшения, квартиры, машины, дачи, ноутбуки. Не оставались в стороне и математики. Но что мог математик приподнести возлюбленной самое-самое свое дорогое? Ну, конечно же, — новую Формулу Любви! Первые такие формулы были, естественно, графические. Ведь тысячелетия назад математические записи отсутствовали и наиболее распространенными были геометрические изображения. Вот один математик-астроном подарил невесте траектрию движения планеты Венеры, которую можно наблюдать в течение 8 лет только с Земли:

В центре этого красивого узора можно заметить стилизованные контуры пяти мелких сердец. Далее сердца укрупняются Еще дальше пошел неизвестный любитель геометрии с еще более впечатляющим орнаментом:

Сердец тут уже намного больше и контуры их ясней. Первые алгебраические формулы любви были, конечно же, примитивными:

https://lovestih.ru/wp-content/uploads/2011/07/formula-lubvi.jpg

Как говорится, любовь на уровне первоклассника. Но совсем уж опустились двоечники или недоучки, пошедшие прямой дорожкой не в науку, а в бизнес. Вот полюбуйтесь хотя бы на это:

Ну, куда годится такая формула? Даже гиганты символьной математики Maple или Mathcad, такое безобразие не берут!

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 1

Лишь в 18 веке пришло понимание того, что пора уже дарить женщинам более сложные формулы — с элементарными функциями и другими прибамбасами. Такими, например, как полярные координаты. Первой кривой, отдаленно напоминающей сердце, была кардиоида.

В системе Maple любой желающий может проверить верность уравнения, скопировав следующие команды:

plot(1-cos(t-(1/2)*Pi), t = 0 .. 2*Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5);

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре в далеком 1705 году. Название кривой дал Джованнии Сальвемини ди Кастиллоне в 1741 году. Вычисление длины кривой выполнил Де Ла Ир, который независимо открыл кардиоиду в 1708 году (он еще известен своими удивительными исследованиями магических квадратов). Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма ( 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков. Конечно, эта кривая описывает контур довольно несуразного сердца. Какого-то явно больного или жирного.

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 2

Чтобы поправить положение, некий ловкий математик чуточку усложнил формулу кардиоиды и получил нечто более человеческое:

В системе Maple:

plot((1-sin(t))*(1/2+(1/7)*tanh(50*sin(t))*abs(sin(2*t)))/(1+(.5*sin(t)-1)^2), t = -Pi .. Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5);

И вот тут началась гонка! Математики словно с цепи сорвались и стали соревноваться друг с другом: кто же найдет формулу, описывающую самое красивое сердце! Эту захватывающую гонку можно понаблюдать, если в Яндексе набрать ключевые слова “Формула любви” и просмотреть 22 тысячи рисунка. Для верности можно и погуглить. Итак, я буду излагать упомянутую гонку по возрастающей качества графиков.

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 3

Внутри сердечка записано уравнение в декартовых координатах. Однако, когда я стал строить график, то появилось ужасно много лишних линий. Поэтому пришлось переводить в полярные координаты (два уравнения даны сверху). Не верите – проверьте:

with(plots): F := plot(sqrt((sin(t)^4+cos(t)^2)*(1+sqrt(1-sin(t)^4-cos(t)^2)))/(sin(t)^4+cos(t)^2), t = 0 .. Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5): G := plot(sqrt(-(sin(t)^4+cos(t)^2)*(-1+sqrt(1-sin(t)^4-cos(t)^2)))/(sin(t)^4+cos(t)^2), t = Pi .. 2*Pi, color = red, coords = polar, thickness = 5): display();

Увидев это один супер-мупер математик под ником doctor по аналогии построил объемный вариант токого же сердца. У меня прога не получилась, поэтому верю ему на слово и привожу картинку из инета: https://math-4-fun.blogspot.com/2010/11/heart-curve.html

Ну не чудеса? Наверное, любимая девушка doctor’а долго прыгала от счастья и больше не ходила к нему на прием в связи с выздоровлением.

ФОРМУЛА ЛЮБВИ 4